我们一切人的老师----莱昂哈德·欧拉

作者: 发布日期:2016-01-31?????? 浏览次数: 2091
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???????? 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ,1707年4月15日~1783年9月18日),瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔牧师家庭。15岁在巴塞尔大学获学士学位,翌年得硕士学位。1727年,欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授。他以旺盛的精力投入研究,在俄国的14年中,他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作,达25年之久。在柏林期间他的研究内容更加广泛,涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学,这些工作和他的数学研究相互推动。1766年他又回到了圣彼得堡。1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。


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1.人物简介


??????? 欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔,1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。他生于牧师家庭。15岁在巴塞尔大学获学士学位,翌年得硕士学位。1727年,欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔第一·伯努利成为物理教授。他以旺盛的精力投入研究,在俄国的14年中,他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作,达25年之久。在柏林期间他的研究内容更加广泛,涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学,这些工作和他的数学研究相互推动。欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。1766年他又回到了圣彼得堡。??欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但在数学上作出伟大贡献,而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本,《无穷小分析引论》、 《微分学原理》 、《积分学原理》都成为数学中的经典着作。除了教科书外,他的全集有74卷。??18世纪中叶,欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中,创立了微分方程这门学科。值得提出的是,偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》 。欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。??欧拉引入了空间曲线的参数方程,给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》,建立了曲面理论。这篇着作是欧拉对微分几何最重要的贡献,是微分几何发展史上的一个里程碑。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。如他引入了Γ函数和B函数,证明了椭圆积分的加法定理,最早引入了二重积分等等。数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。他还解决了着名的组合问题:柯尼斯堡七桥问题。在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。??小时候他就特别喜欢数学,不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过。可小欧拉却读得津津有味,遇到不懂的地方,就用笔作个记号,事后再向别人请教。1720年,13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748年)的精心指导.。这在当时是个奇迹,曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学,也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。

??????? 欧拉渊博的知识,无穷无尽的创作精力和空前丰富的着作,都是令人惊叹不已的!他从19岁开始发表论文,直到76岁,半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文.到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字,从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式等等,数也数不清.他对数学分析的贡献更独具匠心, 《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作,当时数学家们称他为"分析学的化身".

??????? 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,据统计他那不倦的一生,共写下了886本书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%,几何占18%,物理和力学占28%,天文学占11%,弹道学、航海学、建筑学等占3%,彼得堡科学院为了整理他的着作,足足忙碌了四十七年.

????? ??欧拉曾任彼得堡科学院教授,是柏林科学院的创始人之一。他是刚体力学和流体力学的奠基者,弹性系统稳定性理论的开创人。他认为质点动力学微分方程可以应用于液体(1750)。他曾用两种方法来描述流体的运动,即分别根据空间固定点(1755)和根据确定的流体质点(1759)描述流体速度场。前者称为欧拉法,后者称为拉格朗日法。欧拉奠定了理想流体的理论基础,给出了反映质量守恒的连续方程(1752)和反映动量变化规律的流体动力学方程(1755)。欧拉在固体力学方面的着述也很多,诸如弹性压杆失稳后的形状,上端悬挂重链的振动问题,等等。欧拉的专着和论文多达800多种。?

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2.欧拉生平



早年


?????? 欧拉出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭,父亲保罗·欧拉(Paul Euler)是基督教加尔文宗的牧师,保罗·欧拉早年在巴塞尔大学学习神学,后娶了一位牧师的女儿玛格丽特·布鲁克(Marguerite Brucker),也就是欧拉的母亲。欧拉是他们6个孩子中的长子。在欧拉出生后不久,他们全家就从巴塞尔搬迁至郊外的里恩,在那里欧拉度过了他童年的大部分时光。

?????? 欧拉最早是从他的父亲那里接触到一些数学,后来欧拉搬回巴塞尔和他的外祖母住在一起,并在那里开始了他的正式学业,在中学时期,由于欧拉所在的学校并不教授数学,他便私下里从一位大学生那里学习。

?????? 欧拉13岁时进入了巴塞尔大学,主修哲学和法律,但在每周星期六下午便跟当时欧洲最优秀的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)学习数学 。欧拉于1723年取得了他的哲学硕士学位,学位论文的内容是笛卡尔哲学和牛顿哲学的比较研究。之后,欧拉遵从了他父亲的意愿进入了神学系,学习神学,希腊语和希伯来语(欧拉的父亲希望欧拉成为一名牧师),但最终约翰·伯努利说服欧拉的父亲允许欧拉学习数学,并使他相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家。1726年,欧拉完成了他的博士学位论文De Sono,内容是研究声音的传播。1727年,欧拉参加了法国科学院主办的有奖征文竞赛,当年的问题是找出船上的桅杆的最优放置方法。结果他得了二等奖,一等奖为被誉为“舰船建造学之父”的皮埃尔·布格(Pierre Bouguer)所获得,不过欧拉随后在他一生中一共12次赢得该奖项一等奖。

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在圣彼得堡
?????? 这一时期,约翰·伯努利的两个儿子——丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利(Nicolas Bernoulli)——在位于俄国圣彼得堡的俄国皇家科学院工作,在尼古拉因阑尾炎于1726年7月去世后(此时距他来到俄国仅一年),丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位,同时推荐欧拉来接替他自己在生理学所空出的职位。欧拉于1726年11月欣然接受了邀请,但并没有立即动身前往圣彼得堡,而是先申请巴塞尔大学的物理学教授,不过没有成功。

?????? 前苏联于1957年发行的邮票,纪念欧拉诞辰250周年。文字内容为:欧拉,伟大的数学家和学者,诞辰250周年。欧拉于1727年5月17日抵达圣彼得堡,在丹尼尔等人的请求下,科学院将欧拉指派到数学/物理学所工作,而不是起初的生理学所。欧拉与丹尼尔保持着密切的合作关系,并且与丹尼尔住在一起。在1727年至1730年间,欧拉还担任了俄国海军医官的职务。

?????? 俄国皇家科学院由彼得大帝于1724年创建,在彼得大帝和他的继任者凯瑟琳女皇主政时期,科学院是一个对外国学者具有吸引力的地方。科学院有充足的资金来源和一个规模庞大的综合图书馆,并且只招收非常少的学生,以减轻教授们的教学负担。科学院还非常重视研究,给予教授们充分的时间及自由,让他们探究科学问题 。

?????? 凯瑟琳女皇,同时也是科学院的资助者,于欧拉到达圣彼得堡的当天去世。其后彼得二世继位,彼得二世是个软弱的君主,实际权力由俄国贵族掌握。贵族们对科学院的外国科学家心存戒心,于是他们切断了对欧拉及其同事们的财政资助,并且在其它方面找他们的麻烦。

?????? 情况在彼得二世去世(1730年)后有所好转,欧拉在科学院迅速得到提升,并于1731年获得物理学教授的职位。两年后,由于受不了在圣彼得堡受到的种种审查和敌视,丹尼尔·伯努利返回了巴塞尔,欧拉于是接替丹尼尔成为数学所所长 。1735年,欧拉还在科学院地理所担任职务,协助编制俄国第一张全境地图。

?????? 1734年1月7日,欧拉迎娶了科学院附属中学的美术教师,瑞士人乔治·葛塞尔(Georg Gsell)的女儿,柯黛琳娜·葛塞尔(Katharina Gsell,1707-1773) ,两人共育有13个子女,其中仅有5个活到成年 。

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在柏林
????? 考虑到俄国持续的动乱,欧拉在1741年6月19日离开了圣彼得堡,到柏林科学院就职,职位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年,并在那儿写了不止380篇文章。在柏林,他出版了他最有名的两部作品:关于函数方面的文章《无穷小分析引论》,出版于1748年;另一部是关于微分的《微积分概论》, 出版于1755年。 在1755年,他成为瑞典皇家科学院的外籍成员。

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视力恶化
?????? 在欧拉的数学生涯中,他的视力一直在恶化。在1735年一次几乎致命的发热后的三年,他的右眼近乎失明,但他把这归咎于他为圣彼得堡科学院进行的辛苦的地图学工作。视力在他在德国期间也持续恶化,以至于弗雷德里克把他誉为“独眼巨人”。欧拉的原本正常的左眼后来又遭受了白内障的困扰。在他于1766年被查出有白内障的几个星期后,导致了他的近乎完全失明。即便如此,病痛似乎并未影响到欧拉的学术生产力,这大概归因于他的心算能力和超群的记忆力。比如,欧拉可以从头到尾不犹豫地背诵维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》,并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么。在书记员的帮助下,欧拉在多个领域的研究其实变得更加高产了。在1775年,他平均每周就完成一篇数学论文。

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其他
??????? 欧拉年轻时曾研读神学,他一生虔诚、笃信上帝,并不能容许任何诋毁上帝的言论在他面前发表。有一个广泛流传的传说说到,欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里,挑战当时造访宫廷的无神论者德尼·狄德罗:“先生,,所以上帝存在,请回答!”不懂数学的德尼完全不知怎么应对,只好投降。但是由于狄德罗事实上也是一位有作为的数学家,这个传说有可能属于虚构。

??????? 欧拉是史上发表论文数第二多的数学家,全集共计75卷;他的纪录一直到了20世纪才被保罗·埃尔德什打破。后者发表的论文达1525篇,着作有32部。欧拉在他的时代,产量之多,无人能及。欧拉实际上支配了18世纪至今的数学;对于当时新数学分支微积分,他推导出了很多结果。很多数学的分枝,也是由欧拉所创或因而有了极大的进展。

??????? 在1765年至1771年据说是因欧拉双眼直接观察太阳,双眼先后失明。尽管人生最后7年,欧拉的双目完全失明,他还是以惊人的速度产出了生平一半的着作。

??????? 1783年9月18日,晚餐后,欧拉一边喝着茶,一边和小孙女玩耍,突然之间,烟斗从他手中掉了下来。他说了一声:“我的烟斗”,并弯腰去捡,结果再也没有站起来,他抱着头说了一句:“我死了”。“欧拉停止了计算和生命”。后面这句经常被数学史家引用的话,出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口:“...il cessa de calculer et de vivre(他停止了计算和生活)”(he ceased to calculate and to live)。

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3.数学贡献



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??????? 在数学领域内,18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿(Newton)之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中,首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理,为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围,并对偏微分方程,椭圆函数论,变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中,有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。

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1.数论

?????? 欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的着作有很大一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。

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2.代数

?????? 欧拉《代数学入门》一书,是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。

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3.无穷级数

??????? 欧拉的《微分学原理》(Introductio calculi differentialis,1755)是有限差演算的第一部论着,他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时,还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年,为了把一个给定函数展成在(0,“180”)区间上的余弦级数,欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和,这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想,对19世纪末,20世纪初发散级数理论中的两个主题,即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。

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4.函数概念

??????? 18世纪中叶,分析学领域有许多新的发现,其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的着作。

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5.初等函数

?????? 《无穷分析引论》第一卷共18章,主要研究初等函数论。其中,第八章研究圆函数,第一次阐述了三角函数的解析理论,并且给出了棣莫弗(de Moivre)公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数,他给出着名的表达式——欧拉恒等式(表达式中用表示趋向无穷大的数;1777年后,欧拉用表示虚数单位 ),但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年,欧拉发表了完备的复数理论。

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6.单复变函数

?????? 通过对初等函数的研究,达朗贝尔和欧拉在1747-1751年间先后得到了(用现代数语表达的)复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。

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7.微积分学

??????? 欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说,他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。

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8.微分方程

??????? 《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。

??????? 在常微分方程方面,欧拉在1743年发表的论文中,用代换给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法,最早引人了“通解”和“特解”的名词。1753年,他又发表了常系数非齐次线性方程的解法,其方法是将方程的阶数逐次降低。

欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作,是关于二阶线性方程的。

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9.变分法

?????? 1734年,他推广了最速降线问题。然后,着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744年,欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑,它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。

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10.几何学

??????? 坐标几何方面,欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角,彻底地研究了二次曲面的一般方程。

微分几何方面,欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念,即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标,从而开始了曲线的内在几何研究。1760年,欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本着作是欧拉对微分几何最重要的贡献,是微分几何发展史上的里程碑。

???????? 欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年,欧拉用简化(或理想化)的表示法解决了着名的歌尼斯堡七桥游戏问题,得到了具有拓扑意义的河-桥图的判断法则,即现今网络论中的欧拉定理。

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4.其他贡献



??????? 欧拉的一生,是为数学发展而奋斗的一生,他那杰出的智慧,顽强的毅力,孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德,永远是值得我们学习的.欧拉还创设了许多数学符号,例如π(1736年),i(1777年),e(1748年),sin和cos(1748年),tg(1753年),△x(1755年),Σ(1755年),f(x)(1734年)等.


???????? 欧拉和丹尼尔·伯努利一起,建立了弹性体的力矩定律:作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。

???????? 他还直接从牛顿运动定律出发,建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。

???????? 他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人,这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。

???????? 在数论里他引入了欧拉函数。

??????? 自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如φ(8)=4,因为有四个自然数1,3,5和7与8互质。

在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。

??????? 在分析领域,是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。

??????? 他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声。

??????? 欧拉将虚数的幂定义为欧拉公式,它成为指数函数的中心。

???????? 在初等分析中,从本质上来说,要么是指数函数的变种,要么是多项式,两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式'”的则是欧拉公式的一个简单推论(通常被称为欧拉恒等式)。

???????? 在1735年,他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数。他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一,这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。

????????在1739年,欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》,书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道:这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"着作。

??????? 在经济学方面,欧拉证明,如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量,在规模报酬不变的情形下,总收入和产出将完全耗尽。

????????在几何学和代数拓扑学方面,欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系。

在1736年,欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题,并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 》,对一笔画问题进行了阐述,是最早运用图论和拓扑学的典范。

??????? 数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行。

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??????? 学习欧拉的着作,乃是认识数学最好的工具。--- 卡尔·弗里德里希·高斯

????????读欧拉的着作吧,在任何意义上,他都是我们的大师。---皮埃尔-西蒙·拉普拉斯



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